Stimatore di Massima Verosimiglianza, Distribuzione Beta

Statistica
Sia $ X _ 1 , \ldots , X _ n $ una campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione beta di parametri $ ( a , 1 ) $. Cerchiamo lo stimatore di massima verosimiglianza per il parametro $ a $. Una variabile aleatoria $ X $ ha distribuzione beta di parametri $ a $ e $ b $ se la sua densità di probabilità è $$ f _ X ( x ) = \frac{ x ^ { a - 1 } ( 1 - x ) ^ { b - 1 } }{ \beta ( a , b ) } 1 _ { [ 0 , 1 ] } ( x ) $$
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Errore Quadratico Medio

Statistica
Sia $ X _ 1 , \ldots , X _ n $ un campione casuale estratto da una densità $ f ( x \, \vert \, \theta ) $ e indichiamo con $ T $ uno stimatore per il parametro $ \theta $. L'errore quadratico medio rispetto a $ \theta $ è definito come \begin{equation}\label{errore_quadratico_medio} MSE _ { \theta } ( T ) = \mathbb{ E } [ ( T - \theta ) ^ 2 ] \end{equation}
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Definizione di Statistica

Statistica
Una statistica è una variabile aleatoria costruita a partire da un campione casuale $ X _ 1 , \ldots , X _ n $. Formalmente, si tratta di una funzione misurabile $ T _ n : \Omega ^ n \rightarrow \mathbb{ R } $ che associa ad ogni $ n $ - pla di eventi $ A _ 1 , \ldots , A _ n $, un numero reale. Le seguenti statistiche sono di fondamentale importanza.
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Definizione di Gruppo

Algebra
Definizione. Un coppia $ ( G , \ast ) $ costituita da un insieme non vuoto $ G $ e da un'operazione binaria $$ \begin{matrix} && \ast && : && G \times G && \rightarrow && G \\ && && && ( x , y ) && \mapsto && \ast \left ( ( x , y ) \right ) \doteq x \ast y \end{matrix} $$
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Corrispondenza Iniettiva, Suriettiva e Biiettiva

Algebra
Siano $ A $ e $ B $ due insiemi. Il prodotto cartesiano di $ A $ per $ B $ è l'insieme $$ A \times B \doteq \{ ( a , b) \, \vert \, a \in A \wedge b \in B \} $$ Definizione 1. Un sottoinsieme $ F $ del prodotto cartesiano $ A \times B $ prende il nome di corrispondenza su $ A \times B $.
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Somma dei Primi N Numeri Naturali

Algebra
Si narra che quando Gauss aveva circa nove anni, il maestro della classe che il piccolo Gauss frequentava, diede il seguente compito: calcolare la somma dei primi $ 100 $ numeri naturali. Dopo pochi minuti il piccolo matematico si alzò e consegnò la risposta: $ 5050 $.
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